Bakgrund#
En labb som jag upptäckte under min VFU. Då gjorde bara experimentet enligt instruktioner. Det är en helt fantastisk labb där eleverna får ett bra resultat om de bara är nogranna. Uppgiften är enkel, Barbie och Ken vill hoppa bungee-jump och ett riktigt bra sätt är att missa marken med en hårsmån.
Material#
- Barbie-docka, eller likanande. Gärna Ken :-)
- Gummiband (samma sort och längd)
- Tumstock eller måttband
- Häftmassa
- Rutat papper, gärna millimeterpapper
Beskrivning#
Sätt fast tumstocken mot väggen med häftmassa. Tumstocken skall vara helt utfälld (2 meter)
Ta två gummiband och sätt ihop dem med en löpögla.
Surra det ena gummibandet kring Barbie/Kens fötter
Sätt dit ett gummiband till med en ny löpögla
Håll änden av gummibanden (gummibandet du satte dit sist) vid toppen av tumstocken. Fötterna på dockan håller du på samma plats.
Släpp dockan och mät hur långt ned huvudet kommer. För ett bättre resultat släpper du flera gånger och tar medelvärdet.
Skriv i tabellen hur långt dockan kom.
Sätt dit två gummiband till och gör om försöket där ni släpper dockan. Det är viktigt att ni håller dockan och gummibandet på samma plats varje gång.
Fortsätt lägga till två gummiband i taget och mät.
Gör en tabell där ni skriver in antal gummiband och hur långt ned dockan kom. Rita en graf där ni visar sambandet mellan antal gummiband och hur långt ned dockan kom. Se till att ha extra plast på både x- och y-axeln för att senare kunna extraploera till önskad hopplängd.
Läs av hur många gummiband som behövs för att komma så nära marken som möjligt i ert stora hopp. Barbie/Ken vill inte slå i huvudet!
Teori#
När eleverna ritar in sina värden i en tabell så brukar det bli ett snyggt linjärt samband. Glöm inte att linjen skär y-axeln på samma längd som dockans längd. Lite längre ned finns en matematisk förklaring till varför sambandet är linjärt.
Viktiga koncept som vi brukar prata om är hur man anpassar en rät linje till mätpunkter i ett diagram, framförallt när alla punkter inte hamnar på linjen. När de ritar så får de använda ögonmått och se till att det är lika många punkter över och under linjen samt att det totala avståndet är ungefär detsamma. När de sen ska extrapolera så blir det eventuella fel de gjort när de ritat mycket större med hävstångseffekten.
För att minska riskan att Barbies huvud går sönder så kan man istället använda minsta kvadratmetoden och ett digitalt verktyg. Det finns många sidor som illusterar vad man menar med minsta kvadratmetoden, t.ex. på Geogebra1. Det går att nörda ned sig så mycket man vill…
När vi ska prova så brukar jag låta eleverna använda Desmos2 istället för Geogebra, mest för att webbsidan ser enklare ut. Gör en tabell med alla värden och låt sen Desmos göra anpassningen med kommandet:
$$y_{1}\sim mx_{1}+b$$
Vill man inte göra tabellen och skriva kommandot själv så finns allt paketerat på Desmos3.
Varför blir sambandet linjärt?#
Gummiband i serie#
När $n$ gummiband kopplas i serie bär varje band samma kraft $F$. Hookes lag ger förlängningen för ett enskilt band:
$$x_1 = \frac{F}{k}$$
Med $n$ band förlängs varje band lika mycket, så den totala förlängningen blir:
$$x_{\text{tot}} = n \cdot x_1 = \frac{nF}{k}$$
Den effektiva fjäderkonstanten definieras som $F = k_{\text{eff}} \cdot x_{\text{tot}}$, vilket ger:
$$k_{\text{eff}} = \frac{F}{x_{\text{tot}}} = \frac{k}{n}$$
Fler gummiband i serie gör alltså systemet mjukare — dubbelt så många band ger dubbelt så stor förlängning under samma kraft.
Jämviktsläget#
Vid jämvikt hänger dockan stilla och Hookes lag ger direkt:
$$k_{\text{eff}} \cdot x_{jv} = mg \quad \Rightarrow \quad x_{jv} = \frac{mg}{k_{\text{eff}}} = \frac{mgn}{k}$$
Förlängningen vid jämvikt är alltså proportionell mot $n$.
Lägsta punkten#
Eftersom gummibanden följer Hookes lag är rörelsen harmonisk. Dockan släpps från vila vid gummibandets naturliga längd, dvs. $x = 0$. Jämviktsläget är då exakt mittpunkten i rörelsen, vilket betyder att lägsta punkten befinner sig lika långt under jämviktsläget som startpunkten befinner sig ovan det:
$$x_{\text{max}} = 2 \cdot x_{jv} = \frac{2mgn}{k}$$
Det linjära sambandet#
Den totala fallhöjden $d$ är gummibandkedjans naturliga längd $n L_0$ plus den maximala förlängningen, plus dockans höjd $h$:
$$d = n L_0 + \frac{2mgn}{k} + h = n\underbrace{\left(L_0 + \frac{2mg}{k}\right)}_{= \text{ konstant}} + h$$
Det här är en rät linje $d = an + b$ där lutningen $a$ bestäms av gummibandens styvhet och dockans massa, och y-skärningen $b \approx h$ motsvarar dockans höjd.
Kommentarer#
Se till att ha elever som tittar vid marken när dockan hoppar, det är riktigt imponerande att se hur bra labben fungerar. Men en bra mobilkamera kan man även filma i slow motion och se hur nära marken dockan kommer. Vi brukar behöva 2 timmar för att utföra experimentet, rita grafen och prata om linjär regression.